Логарифмы и онлайн-калькулятор логарифмов
Подготовил преподаватель: Александр Валерьевич
Логарифмы и онлайн-калькулятор логарифмов
Логарифмы — это математические функции, которые представляют собой обратные операции возведения в степень.
Формулы:
● Основное логарифмическое тождество: alogab = b
- loga1 = 0
- logaa = 1
- loga(bc) = logab + logac
- loga(b/c) = logab − logac
- loga(1/c) = −logac
- loga(bc) = c·logab
- loga(b1/c) = (1/c)·logab
Калькулятор логарифмов
Логарифм — это показатель степени, в которую нужно
возвести основание, чтобы получить число.
Пример: log10(100) = 2, потому что 102 = 100
возвести основание, чтобы получить число.
Пример: log10(100) = 2, потому что 102 = 100
Что такое логарифм?
Поймём с помощью графика функции y = 3x, как найти решение уравнения.
Чтобы найти x в уравнении 3x = 5, мы ищем логарифм:
x = log35 — это степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 5. Читается как логарифм по основанию три от пяти.
Общее определение логарифма
Логарифмом числа b по основанию a называют степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
Однако существуют ограничения для логарифма: основание а должно быть больше нуля и не равно единице, а показатель b также должен быть больше нуля.
Однако существуют ограничения для логарифма: основание а должно быть больше нуля и не равно единице, а показатель b также должен быть больше нуля.
Как решить логарифм?
Рассмотрим пример:
log₆36 = x
В какую степень нужно возвести 6, чтобы получить 36?
во вторую степень!
log₆36 = 2
log₆36 = x
В какую степень нужно возвести 6, чтобы получить 36?
во вторую степень!
log₆36 = 2
Виды логарифмов
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как ln.
Пример натурального логарифма: ln e⁵.
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как lg.
Пример десятичного логарифма: lg 0,1.
Пример натурального логарифма: ln e⁵.
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как lg.
Пример десятичного логарифма: lg 0,1.
Свойства и формулы логарифмов
Основное логарифмическое тождество
alogₐ b = b
Пример:
7log₇ 8 = 8
⸻
Свойство суммы логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:
logₐ b + logₐ c = logₐ (b · c)
Пример:
log₃ 3 + log₃ 27 = log₃ (3 · 27) = log₃ 81 = 4
⸻
Свойство разности логарифмов
Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного:
logₐ b − logₐ c = logₐ (b / c)
Пример:
log₇ 3430 − log₇ 10 = log₇ (3430 / 10) = log₇ 343 = 3
⸻
Логарифм степени
Степень аргумента выносится перед логарифмом:
logₐ bⁿ = n · logₐ b
Пример:
log₄ 64(1/2) = 0,5 · log₄ 64 = 0,5 · 3 = 1,5
⸻
Логарифм с степенью в основании
Если основание логарифма возведено в степень, то эта степень выносится перед логарифмом как обратное число:
logₐᵏ b = (1 / k) · logₐ b
Пример:
log₄(1/2) 16 = (1 / 0,5) · log₄ 16 = 2 · 2 = 4
⸻
Формула перехода к новому основанию
logₐ b = log𝑐 (b) / log𝑐 (a)
Пример:
7log₇ 8 = 8
⸻
Свойство суммы логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:
logₐ b + logₐ c = logₐ (b · c)
Пример:
log₃ 3 + log₃ 27 = log₃ (3 · 27) = log₃ 81 = 4
⸻
Свойство разности логарифмов
Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного:
logₐ b − logₐ c = logₐ (b / c)
Пример:
log₇ 3430 − log₇ 10 = log₇ (3430 / 10) = log₇ 343 = 3
⸻
Логарифм степени
Степень аргумента выносится перед логарифмом:
logₐ bⁿ = n · logₐ b
Пример:
log₄ 64(1/2) = 0,5 · log₄ 64 = 0,5 · 3 = 1,5
⸻
Логарифм с степенью в основании
Если основание логарифма возведено в степень, то эта степень выносится перед логарифмом как обратное число:
logₐᵏ b = (1 / k) · logₐ b
Пример:
log₄(1/2) 16 = (1 / 0,5) · log₄ 16 = 2 · 2 = 4
⸻
Формула перехода к новому основанию
logₐ b = log𝑐 (b) / log𝑐 (a)
Пример решения логарифма
Найдите значение выражения:
logₐ (a⁴ / x), если logₓ a = 0,5
Решение
1. Применим свойство разности логарифмов:
logₐ (a⁴ / x) = logₐ a⁴ − logₐ x
2. Теперь применим свойство логарифма степени к каждому логарифму:
logₐ a⁴ = 4 · logₐ a = 4 · 1 = 4, поскольку logₐ a = 1 по определению логарифма.
Чтобы найти logₐ x, используем формулу перехода к новому основанию: logₐ x = 1 / logₓ a
3. По условию задачи:
logₓ a = 0,5 тогда:
logₐ x = 1 / 0,5 = 2
4. Подставим всё в выражение:
logₐ (a⁴ / x) = 4 · logₐ a − logₐ x= 4 − 2 = 2
Ответ: 2
logₐ (a⁴ / x), если logₓ a = 0,5
Решение
1. Применим свойство разности логарифмов:
logₐ (a⁴ / x) = logₐ a⁴ − logₐ x
2. Теперь применим свойство логарифма степени к каждому логарифму:
logₐ a⁴ = 4 · logₐ a = 4 · 1 = 4, поскольку logₐ a = 1 по определению логарифма.
Чтобы найти logₐ x, используем формулу перехода к новому основанию: logₐ x = 1 / logₓ a
3. По условию задачи:
logₓ a = 0,5 тогда:
logₐ x = 1 / 0,5 = 2
4. Подставим всё в выражение:
logₐ (a⁴ / x) = 4 · logₐ a − logₐ x= 4 − 2 = 2
Ответ: 2
Примеры из жизни
Камеры и экспозиция: логарифмы в фотографии
В профессиональной фотографии часто используется понятие “стоп”, или логарифм по основанию 2, чтобы измерять разницу в освещении.
Например, если фотограф говорит, что “экспозиция увеличена на 2 стопа”, это значит, что яркость увеличилась в 4 раза (2²).
Современные камеры применяют логарифмические алгоритмы для тонального сжатия изображения, особенно в лог-профилях (LOG Gamma), которые дают больше информации в тенях и светах.
В профессиональной фотографии часто используется понятие “стоп”, или логарифм по основанию 2, чтобы измерять разницу в освещении.
Например, если фотограф говорит, что “экспозиция увеличена на 2 стопа”, это значит, что яркость увеличилась в 4 раза (2²).
Современные камеры применяют логарифмические алгоритмы для тонального сжатия изображения, особенно в лог-профилях (LOG Gamma), которые дают больше информации в тенях и светах.
Шкала Рихтера и землетрясение
Во время разрушительного землетрясения в Японии в 2011 году сила подземного толчка составила 9,0 по шкале Рихтера. Эта шкала построена на десятичном логарифме, то есть каждое увеличение на 1 балл означает, что высвобожденная энергия возрастает в 10 раз.
Например, землетрясение с магнитудой 9,0 примерно в 10 раз мощнее, чем землетрясение с магнитудой 8,0.
Использование десятичной логарифмической шкалы позволяет компактно и наглядно выражать колоссальные различия в мощности сейсмических событий, которые иначе было бы сложно представить.
Во время разрушительного землетрясения в Японии в 2011 году сила подземного толчка составила 9,0 по шкале Рихтера. Эта шкала построена на десятичном логарифме, то есть каждое увеличение на 1 балл означает, что высвобожденная энергия возрастает в 10 раз.
Например, землетрясение с магнитудой 9,0 примерно в 10 раз мощнее, чем землетрясение с магнитудой 8,0.
Использование десятичной логарифмической шкалы позволяет компактно и наглядно выражать колоссальные различия в мощности сейсмических событий, которые иначе было бы сложно представить.
В 1000 раз громче: как звучит логарифм
Шкала децибел была разработана в 1920-х годах в Bell Labs для оценки потерь сигнала в телефонии, а позже — адаптирована для измерения звука. Она основана на десятичном логарифме, потому что наше ухо воспринимает громкость в логарифмическом масштабе.
Представим: в комнате работает тихий вентилятор — уровень шума примерно 20 дБ. В это время неподалёку запускается бензогенератор — уровень поднимается до 50 дБ.
Разница — 30 дБ. На первый взгляд немного, но в реальности это означает, что второй звук в 1000 раз мощнее по интенсивности, чем первый.
Так работает логарифмическая шкала: каждые 10 дБ — это увеличение мощности в 10 раз. Поэтому даже небольшое изменение на шкале означает огромную разницу в восприятии звука.
Представим: в комнате работает тихий вентилятор — уровень шума примерно 20 дБ. В это время неподалёку запускается бензогенератор — уровень поднимается до 50 дБ.
Разница — 30 дБ. На первый взгляд немного, но в реальности это означает, что второй звук в 1000 раз мощнее по интенсивности, чем первый.
Так работает логарифмическая шкала: каждые 10 дБ — это увеличение мощности в 10 раз. Поэтому даже небольшое изменение на шкале означает огромную разницу в восприятии звука.
