8–11 классы · ОГЭ
Решение неравенств методом интервалов
Полный разбор метода: от преобразования неравенства и поиска критических точек до выбора промежутков и правильной записи ответа.
Что такое метод интервалов
Метод интервалов помогает определить, при каких значениях x выражение положительно или отрицательно. Для этого находят точки, в которых выражение равно нулю или не имеет смысла. Эти точки делят числовую прямую на интервалы — промежутки между соседними критическими точками. Внутри каждого такого интервала знак выражения остаётся постоянным.
Строгие и нестрогие неравенства
Знаки > и < называют строгими: равенство граничному значению не допускается. Знаки ≥ и ≤ называют нестрогими: точка, в которой выражение равно нулю, может войти в ответ, если само выражение в ней определено.
Знак неравенства можно представить как раскрытый рот: широкая часть всегда обращена к большему числу. Например, 3 > 2.
Как определить знак произведения
Метод интервалов опирается на обычное правило знаков. Произведение положительно, когда множители имеют одинаковые знаки, и отрицательно, когда знаки различаются.
Решение через совокупность систем
(x − 3)(x − 7) < 0
Произведение отрицательно, если множители разных знаков. Подходит система x − 3 > 0 и x − 7 < 0, то есть одновременно x > 3 и x < 7. Обратная комбинация x < 3 и x > 7 решений не имеет.
Ответ: x ∈ (3; 7)(x − 10)(x − 15) > 0
Произведение положительно, если оба множителя положительны или оба отрицательны. Получаем x > 15 или x < 10.
Ответ: x ∈ (−∞; 10) ∪ (15; +∞)Полный алгоритм
- Перенесите все слагаемые в одну сторону, чтобы справа остался ноль.
- Приведите дроби к общему знаменателю, если они есть. Нельзя переносить знаменатель через знак неравенства: его знак может быть неизвестен.
- Разложите числитель и знаменатель на множители.
- Найдите нули числителя и отдельно значения, при которых знаменатель равен нулю.
- Отметьте все критические точки на числовой прямой в порядке возрастания. Нули знаменателя всегда отмечайте выколотыми.
- Определите знак выражения на каждом промежутке: подставьте удобное число или используйте правило смены знака.
- Выберите промежутки с нужным знаком и правильно включите или исключите граничные точки.
Главное правило смены знаков
При переходе через корень нечётной кратности знак меняется. При переходе через корень чётной кратности знак не меняется. Если вы сомневаетесь, возьмите по одной пробной точке из каждого промежутка.
Пример 1. Квадратное неравенство
x² − 5x − 14 > 0
1. Разложим многочлен: x² − 5x − 14 = (x + 2)(x − 7).
2. Критические точки: x = −2 и x = 7.
3. Обе точки — простые корни, поэтому при переходе через каждую знак меняется: «плюс, минус, плюс».
4. Нужен знак «плюс». Неравенство строгое, поэтому корни не включаем.
Ответ: x ∈ (−∞; −2) ∪ (7; +∞)Пример 2. Дробно-рациональное неравенство
(x + 3) / (x − 2) ≤ 0
1. Ноль числителя: x = −3. Ноль знаменателя: x = 2.
2. Точки −3 и 2 делят прямую на три промежутка. Знаки выражения: «плюс, минус, плюс».
3. Выбираем отрицательный промежуток. Точку −3 включаем, потому что знак нестрогий и дробь в ней равна нулю.
4. Точку 2 не включаем никогда: в ней знаменатель равен нулю.
Ответ: x ∈ [−3; 2)Пример 3. Корень чётной кратности
(x − 1)²(x + 4) < 0
Критические точки: −4 и 1. В точке −4 множитель имеет первую степень, поэтому знак меняется. В точке 1 множитель стоит в квадрате, поэтому знак сохраняется.
Выражение отрицательно только левее −4. Обе точки исключаем, потому что неравенство строгое.
Ответ: x ∈ (−∞; −4)Какие скобки ставить в ответе
Как определять знак на промежутке
Надёжный способ: выберите любое удобное число внутри промежутка и подставьте его в разложенное выражение. Вычислять точное значение необязательно — достаточно определить знак каждого множителя.
Быстрый способ: начните с крайнего правого промежутка и переходите через критические точки. Через корень нечётной кратности меняйте знак, через корень чётной кратности сохраняйте. Этот способ работает только тогда, когда выражение правильно разложено на множители и учтены их степени.
Типичные ошибки
- Оставлять справа не ноль, а другое выражение. Метод интервалов применяют после приведения к виду f(x) ⋛ 0.
- Умножать обе части на выражение с x, не зная его знака. Из-за этого знак неравенства может измениться.
- Искать только нули числителя и забывать про нули знаменателя.
- Автоматически чередовать знаки, не учитывая корни чётной кратности.
- Включать ноль знаменателя в ответ при знаках ≥ или ≤.
- Ставить квадратную скобку рядом с бесконечностью.
Чек-лист перед записью ответа
- Справа стоит ноль.
- Выражение разложено на множители.
- Отмечены нули числителя и знаменателя.
- Учтена кратность каждого корня.
- Выбраны промежутки с нужным знаком.
- Нули знаменателя и бесконечности записаны только с круглыми скобками.